部分集合とは？

部分集合の意味

ある集合に含まれるすべての要素が、別の集合にも含まれているときに、前者を後者の部分集合と呼ぶ。すなわち、ある集合のすべての要素が、より大きな集合（全体集合）の一部として完全に含まれている関係を表す考え方である。データベースの検索条件や、分類の階層関係を考える際の基礎となる概念であり、「特定の条件を満たすデータの集まりが、より大きなデータ全体の一部に含まれる」といった状況を数学的に整理する際に用いられる。

部分集合の具体例

「東京都内に住む会員」の集合は、「日本国内に住む会員」の集合の部分集合であり、前者に含まれる会員は必ず後者にも含まれている。

部分集合は試験でどう引っ掛けられる？

部分集合には、元の集合とまったく同じ集合（自分自身）や、要素を一つも含まない空集合も含まれる点を見落としやすい。

部分集合と関連する用語

• 和集合・積集合・差集合
• 補集合
• ベン図

部分集合が出た過去問

• 第1，第2，第3正規形とそれらの特徴a〜cの組合せのうち，適切なものはどれか。 a：どの非キー属性も，主キーの真部分集合に対して関数従属しない。 b：どの非キー…

  正解：第1正規形=c，第2正規形=a，第3正規形=b

  要点：正規化は繰返し排除→部分従属排除→推移従属排除の順。

  第1正規形は繰返し属性（同一行内の反復する項目）を排除した形で、これがcに当たる。第2正規形は主キーの一部だけに依存する部分関数従属を排除した形でaに当たり、第3正規形は主キー以外を介した推移的関数従属を排除した形でbに当たる。正規化は繰返しの排除→部分従属の排除→推移従属の排除という順で進む。

  出典：平成30年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問28（IPA）

• 全体集合S内に異なる部分集合AとBがあるとき、A(バー)∩B(バー)に等しいものはどれか。ここで、A∪BはAとBの和集合、A∩BはAとBの積集合、A(バー)はS…

  正解：A(バー)-B

  要点：補集合の積はド・モルガンで和集合の補集合になる

  ド・モルガンの法則より、Aの補集合とBの補集合の積集合は、A∪Bの補集合、すなわちS-(A∪B)と等しくなります。一方、差集合A-BはA∩B(バー)と書き換えられるので、Ā-B は Ā∩B̄ そのものです。ベン図で「AにもBにも属さない領域」を塗ると確認できます。

  出典：令和1年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問2（IPA）

• 全体集合S内に異なる部分集合AとBがあるとき、A(バー)∩B(バー)に等しいものはどれか。ここで、A∪BはAとBの和集合、A∩BはAとBの積集合、A(バー)はS…

  正解：A(バー)－B

  要点：ド・モルガンの法則で補集合の積は和集合の補集合になる

  ド・モルガンの法則より、AバーとBバーの積集合は和集合A∪Bの補集合、つまりSからA∪Bを除いた領域である。これはSからAを除いた集合（＝Aバー）からさらにBを取り除いたものに一致する。したがってAバー－Bが等しい。

  出典：令和4年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問2（IPA）

• 第1、第2、第3正規形とリレーションの特徴a, b, cの組合せのうち、適切なものはどれか。a：どの非キー属性も、主キーの真部分集合に対して関数従属しない。b：…

  正解：第1正規形：c／第2正規形：a／第3正規形：b

  要点：正規化は繰返し→部分従属→推移的従属の順に取り除く

  第1正規形は繰返し項目を排除して各欄が単一の値になった状態（c）を指す。第2正規形はさらに、主キーの一部だけで決まる属性（部分関数従属）を分離した状態（a）である。第3正規形では、非キー属性を経由して間接的に決まる推移的関数従属も取り除く（b）。この順で段階的に冗長性を減らしていく。

  出典：令和4年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問28（IPA）