ド・モルガンの法則とは？どもるがんのほうそく
ド・モルガンの法則とは、ANDとORが否定をはさんで入れ替わることを示す等価変換の規則。NOT(A AND B) は NOT A OR NOT B に、NOT(A OR B) は NOT A AND NOT B に等しい。項が3つ以上でも再帰的に成り立ち、否定条件の書き換え、NAND／NORだけでの回路実現、検索条件やアクセス制御ルールの等価変換の根拠として使われる。
最終更新：2026-10-06
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実装の側には「使える形が限られている」という制約がある。論理回路ではNANDまたはNORの1種類だけで全ての論理を組めると都合がよく、ファイアウォールやアクセス制御の設定表では条件をANDで並べる形しか書けないことがある。人が自然に考えた条件をそのまま置けないとき、意味を変えずに使える形へ移すための等価変換がこの法則で、応用情報では離散数学の論理演算として問われる。
具体例
「経理部でも人事部でもない社員」を抽出したい場合、条件は NOT(経理 OR 人事) だが、絞り込み画面がANDでの積み上げしか受け付けないなら NOT経理 AND NOT人事 と2つの条件へ分けて指定する。回路の側では、NANDゲートの出力を「両方の入力を反転させてからORを取ったもの」と読み替えられ、NANDだけで任意の論理を組める根拠になる。
試験での引っ掛け
最も多い誤りは、否定を配るときにANDとORの入れ替えを忘れて NOT(A AND B) = NOT A AND NOT B としてしまうことである。日本語で読むと「AかつBでない」と「AでもBでもない」が似て聞こえるのが原因で、前者は片方が偽なら成り立つのに対し、後者は両方が偽でないと成り立たない。3項以上でも同じで、NOT(A AND B AND C) はOR3項に変わる。
関連用語
出た過去問
出典：令和4年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問23（IPA）解説で登場
入力XとYの値が同じときにだけ、出力Zに1を出力する回路はどれか。4つの論理回路図の選択肢から選ぶ。いずれもXとYが右方向に分岐し、一方は上段のゲートへ、もう一…
正解：上段ゲートはNAND（X・Yの否定、バブルあり）、下段ゲートはNAND（NOT X・NOT Yの否定、バブルあり）、最終段もNAND（バブルあり）でZを出力する回路。
要点：入力一致で1になるのはXNOR（排他的論理和の否定）
入力が一致したときだけ1を出すのは一致回路、すなわち排他的論理和の否定（XNOR）で、論理式は X・Y ＋ Xの否定・Yの否定 です。NANDだけで構成した回路は、前段2つのNAND出力を最終段のNANDに入れるとド・モルガンの法則により2つの積項の論理和になり、この式と一致します。
出典：令和4年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問2（IPA）解説で登場
全体集合S内に異なる部分集合AとBがあるとき、A(バー)∩B(バー)に等しいものはどれか。ここで、A∪BはAとBの和集合、A∩BはAとBの積集合、A(バー)はS…
正解：A(バー)－B
要点：ド・モルガンの法則で補集合の積は和集合の補集合になる
ド・モルガンの法則より、AバーとBバーの積集合は和集合A∪Bの補集合、つまりSからA∪Bを除いた領域である。これはSからAを除いた集合（＝Aバー）からさらにBを取り除いたものに一致する。したがってAバー－Bが等しい。
出典：令和5年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問21（IPA）解説で登場
NAND素子を用いた次の組合せ回路の出力Zを表す式はどれか。ここで、論理式中の"・"は論理積、"＋"は論理和、"X̄"はXの否定を表す。
正解：X＋Y
要点：NANDは入力を共通にすると否定回路として働く
2入力とも同じ信号を入れたNANDは、その信号の否定を出力する。したがって前段の2素子の出力はそれぞれX̄とȲになる。これを最終段のNANDに入れるとZ＝(X̄・Ȳ)の否定となり、ド・モルガンの法則によりX＋Yに等しくなる。
出典・参考
解説は資格暗記が独自に作成しています。過去問の出典は各問題に記載のとおりです。