補集合とは？ほしゅうごう
補集合とは、全体集合をあらかじめ定めたうえで、ある集合に含まれない要素すべてからなる集合。論理演算のNOTに対応し、ド・モルガンの法則では和集合の補集合が各補集合の積集合に等しくなる。全体集合の取り方が変われば、同じ集合でも補集合の中身は変わる。集合演算・論理演算・ビット演算をまたいで同じ構造が現れる。
最終更新：2026-10-06
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「当てはまるもの」を数え上げるより「当てはまらないものを除く」ほうが速い場面は多い。少なくとも1つが成り立つ確率のように、直接数えると場合分けが膨らむ問いも、余事象を引く形にすれば1回の計算で済む。集合演算と論理演算とビット演算を同じ構造として扱えるのも、補集合とNOTが対応しているためである。
具体例
SQLではNOT INやNOT EXISTSが補集合の考え方にあたり、「受注のある顧客」の補集合として「受注のない顧客」を取り出す。ビット演算では、8ビットの値に対する1の補数が各ビットの補集合そのもので、マスク処理で使う。
試験での引っ掛け
全体集合を決めずに補集合を語ると答えが定まらない点が狙われる。ド・モルガンでは補集合を取ると和と積が入れ替わるため、「和集合の補集合＝補集合の和集合」とするのが典型的な誤り。SQLのNOT INはNULLがあると期待どおりに補集合にならない。
関連用語
出た過去問
出典：令和4年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問2（IPA）
全体集合S内に異なる部分集合AとBがあるとき、A(バー)∩B(バー)に等しいものはどれか。ここで、A∪BはAとBの和集合、A∩BはAとBの積集合、A(バー)はS…
正解：A(バー)－B
要点：ド・モルガンの法則で補集合の積は和集合の補集合になる
ド・モルガンの法則より、AバーとBバーの積集合は和集合A∪Bの補集合、つまりSからA∪Bを除いた領域である。これはSからAを除いた集合（＝Aバー）からさらにBを取り除いたものに一致する。したがってAバー－Bが等しい。
出典・参考
公式シラバスの1 基礎理論 ＞ 1. 離散数学 ＞ (4) 集合と命題に掲載されている用語です。
解説は資格暗記が独自に作成しています。過去問の出典は各問題に記載のとおりです。