集合演算とは？

集合演算の意味

和集合・積集合・差集合・補集合など、集合どうしに対する演算。要素数を求める包除原理やベン図による領域の対応づけが基本で、論理演算やSQLの集合演算、検索条件の組立てと同じ構造を持つ。ド・モルガンの法則は集合の側でも成り立つ。

集合演算の具体例

100人のうちAを選んだ人が60人、Bが50人、両方選んだ人が30人なら、少なくとも一方を選んだ人は60＋50−30＝80人、どちらも選ばなかった人は20人。3つの集合になると包除原理の符号が交互に入れ替わる点が計算の要になる。

集合演算は試験でどう引っ掛けられる？

日常語の「AまたはB」は排他的に読めてしまうが、集合・論理では両方を含む和集合を指す。差集合A−Bと、どちらか一方だけを表す対称差の取り違えも多い。補集合は全体集合を決めないと定まらない。

集合演算と関連する用語

• 論理演算
• ド・モルガンの法則

集合演算が出た過去問

• 関係R（ID, A, B, C）のA, Cへの射影の結果とSQL文で求めた結果が同じになるように、aに入れるべき字句はどれか。ここで、関係Rを表Tで実現し、表T…

  正解：DISTINCT

  要点：関係代数の射影は重複を除くのでSQLではDISTINCTが要る

  関係代数の射影は集合演算なので、結果に重複する行は現れない。一方SQLのSELECTは既定で重複行をそのまま返すため、A列とC列だけを取り出すと同じ値の組が複数出てしまう。重複を取り除くDISTINCTを指定することで、射影の結果と一致させられる。

  出典：平成29年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問28（IPA）

• 関係Rと関係Sに対して、関係Xを求める関係演算はどれか。

  正解：和

  要点：同じ列構成の関係の行を重複なく合わせる演算が和

  関係Xの内容は、関係Rの3行と関係Sの2行を合わせ、重複する行を1つにまとめたものになっている。これは集合演算の和（UNION）の結果である。和・差・積（共通）はいずれも和両立（同じ属性構成）である関係どうしに適用できる演算である。

  出典：令和3年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問26（IPA）

• “従業員”表に対して“異動”表による差集合演算を行った結果はどれか。従業員表・異動表・選択肢ア〜エはいずれも従業員ID・従業員名・所属の3列からなる表として与え…

  正解：従業員ID A001(情報太郎,人事部), C003(試験桃子,人事部), C011(試験一郎,経理部) の3行。

  要点：差集合は左の表から右の表と重なる行を除いた残り

  差集合演算は、左側の表の行のうち右側の表に存在しない行だけを取り出します。従業員表の5行から、異動表にも現れる2行（A005とB010）を除くと、A001・C003・C011の3行が残ります。異動表にしかないD080は結果に含まれません。

  出典：令和4年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問27（IPA）

• 和両立である関係RとSがある。R∩Sと等しいものはどれか。ここで，－は差演算，∩は共通演算を表す。

  正解：R－(R－S)

  要点：R－(R－S)は差演算だけで共通部分R∩Sを表す等式

  R－Sは「Rにあり、Sにない部分」なので、これをRからさらに引くと「Rにあり、かつSにもある部分」だけが残る。すなわちR－(R－S)＝R∩Sとなる。集合の差を2回使って共通部分を表す、集合演算の基本的な等式である。

  出典：令和7年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問28（IPA）