集合A，B，Cを使った等式のうち，集合A，B，Cの内容によらず常に成立する等式はどれか。ここで，∪は和集合，∩は積集合を示す。

選択肢

• ア(A∪B)∩(A∩C) = B∩(A∪C)
• イ(A∪B)∩C = (A∪C)∩(B∪C)
• ウ(A∩C)∪(B∩A) = (A∩B)∪(B∩C)
• エ(A∩C)∪(B∩C) = (A∪B)∩C

正解と解説

正解：エ (A∩C)∪(B∩C) = (A∪B)∩C

集合演算には「∩は∪に対して分配できる」という分配法則があり、(A∪B)∩C は (A∩C)∪(B∩C) に等しくなります。これは要素xがCに属し、かつAまたはBに属する、という条件を書き換えただけなので、A・B・Cの中身に関係なく常に成立します。他の等式は、たとえばA={1}、B={}、C={1}のような具体例を1つ当てはめるだけで両辺が食い違い、反例が作れます。

選択肢ごとの解説

• ア左辺にAが二重に効いており、簡単な具体例で両辺が一致しなくなる。
• イ∪と∩を入れ替えた形で、分配法則の対応が崩れている。
• ウ左辺と右辺で組み合わさる集合の対が食い違っており、恒等式にならない。
• エ正解。∩の∪に対する分配法則そのもので、集合の中身によらず成立する。

この問題に出た用語

• 和集合・積集合・差集合

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