補集合とは？

補集合の意味

あらかじめ考える対象の範囲全体（全体集合）を決めたうえで、その中からある集合に含まれる要素を除いた、残りすべての要素からなる集合のこと。つまり「全体集合のうち、ある条件に当てはまらないものすべて」を表す考え方であり、否定（NOT）の考え方と密接に結びついている。特定の条件に「当てはまらないデータ」を効率よく求めたい場合など、データベースの検索条件や統計的な分析の場面で活用される。

補集合の具体例

「全会員」を全体集合としたとき、「有料会員」の集合の補集合は「有料会員ではない会員（無料会員）」の集合となる。

補集合は試験でどう引っ掛けられる？

補集合を求めるには全体集合の範囲をあらかじめ明確に定義しておく必要があり、全体集合を何にするかによって補集合の中身は変わる点に注意。

補集合と関連する用語

• 和集合・積集合・差集合
• 部分集合

補集合が出た過去問

• 任意のオペランドに対するブール演算Aの結果とブール演算Bの結果が互いに否定の関係にあるとき、AはBの（又は、BはAの）相補演算であるという。排他的論理和の相補演…

  正解：等価演算

  要点：XOR（排他的論理和）の相補演算は等価演算（XNOR）

  排他的論理和（XOR）は2入力が異なるとき1、同じとき0になる。その出力をすべて反転した演算は、2入力が一致するとき1になる演算、すなわち等価演算（XNOR、一致演算）である。ベン図でも、XORが「重なりを除いた2つの円の部分」であるのに対し、等価演算はその補集合（重なり部分と両方の外側）になり、互いに否定の関係にあることが確認できる。

  出典：平成30年度 秋期 高度共通_午前I試験 am1 問1（IPA）

• 全体集合S内に異なる部分集合AとBがあるとき、A̅∩B̅に等しいものはどれか。ここで、A∪BはAとBの和集合、A∩BはAとBの積集合、A̅はSにおけるAの補集合…

  正解：A̅－B

  要点：ド・モルガンの法則：A̅∩B̅は和集合A∪Bの補集合

  Aの補集合とBの補集合の積集合は、ド・モルガンの法則よりA∪Bの補集合、すなわち「AにもBにも属さない要素の集合」である。一方、差集合A-Bは「Aに属しBに属さない要素」を表すので、A̅-BはAに属さずBにも属さない要素の集合となり、A̅∩B̅と一致する。

  出典：令和1年度 秋期 高度共通_午前I試験 am1 問1（IPA）