ド・モルガンの法則とは？ど・もるがんのほうそく
ド・モルガンの法則とは、否定を括弧の中へ分配すると、ANDとORが入れ替わるという法則。¬(A∧B)＝¬A∨¬B、¬(A∨B)＝¬A∧¬B。集合では和集合の補集合が補集合どうしの積集合になる形で、論理回路ではNAND・NORの相互変換として同じ関係が現れる。
最終更新：2026-10-07
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否定を含む条件は人が読み下すと取り違えやすく、仕様の誤解や条件分岐のバグの温床になる。機械的に安全な書き換え規則があれば、真理値表を毎回起こさなくても等価変換できる。回路側にも事情があり、実装に使えるゲートの種類が限られる中で、NANDだけであらゆる論理を組めることの根拠がこの法則。カルノー図による論理式の簡単化とも組で問われる。
具体例
NANDだけでOR回路を作れるのはこの法則による。A∨B＝¬(¬A∧¬B) なので、Aの否定とBの否定を入力とするNAND1個でORが得られる。論理回路の等価変換問題はここが起点になる。
試験での引っ掛け
演算子を替え忘れる誤りが定番で、¬(A∧B) を ¬A∧¬B と書くと別物になる。迷ったら真理値表を1行ずつ突き合わせれば判別できる。3項以上でも同じ形で、¬(A∧B∧C)＝¬A∨¬B∨¬C となる。
関連用語
出た過去問
出典：令和元年度 秋期 高度試験 午前Ⅰ 問1（IPA）解説で登場
全体集合S内に異なる部分集合AとBがあるとき、A̅∩B̅に等しいものはどれか。ここで、A∪BはAとBの和集合、A∩BはAとBの積集合、A̅はSにおけるAの補集合…
正解：A̅－B
要点：ド・モルガンの法則：A̅∩B̅は和集合A∪Bの補集合
Aの補集合とBの補集合の積集合は、ド・モルガンの法則よりA∪Bの補集合、すなわち「AにもBにも属さない要素の集合」である。一方、差集合A-Bは「Aに属しBに属さない要素」を表すので、A̅-BはAに属さずBにも属さない要素の集合となり、A̅∩B̅と一致する。
出典：令和5年度 春期 高度試験 午前Ⅰ 問7（IPA）解説で登場
NAND素子を用いた次の組合せ回路の出力Zを表す式はどれか。ここで、論理式中の“・”は論理積、“＋”は論理和、“X̄”はXの否定を表す。
正解：X＋Y
要点：NANDに同じ入力を2本つなぐと否定回路になる
NAND素子の2入力に同じ信号を入れると、X NAND X ＝ Xの否定となり、インバータとして働く。よって1段目・2段目の出力はXの否定とYの否定である。最終段はこの二つのNANDなので、ド・モルガンの法則によりXの否定とYの否定の論理積の否定＝X＋Yとなる。
出典・参考
解説は資格暗記が独自に作成しています。過去問の出典は各問題に記載のとおりです。