数値解析（ニュートン法・二分法）とは？

数値解析（ニュートン法・二分法）の意味

方程式 f(x)＝0 の解を反復計算で近似する手法。二分法は符号が変わる区間を半分ずつ狭める確実な方法、ニュートン法は接線と軸の交点へ移る高速な方法。応用情報では収束の速さと安定性の違いが問われる。

数値解析（ニュートン法・二分法）の具体例

二分法は1回で誤差が半分ずつ縮み、10回で約1/1000になる。ニュートン法は収束すれば1回で有効桁がほぼ倍増するが、初期値が悪い・微分係数が0に近いと発散する。IRRの算出などで実際に使われる。

数値解析（ニュートン法・二分法）は試験でどう引っ掛けられる？

ニュートン法が常に速いとは限らず、初期値次第で発散する。二分法は遅いが区間の両端で符号が異なれば必ず収束する。打切り条件を誤差ではなく回数だけにすると、精度が保証されない点も注意。

数値解析（ニュートン法・二分法）と関連する用語

• 桁落ちと情報落ち
• 絶対誤差と相対誤差
• IT投資評価（NPV・IRR・回収期間法）

数値解析（ニュートン法・二分法）が出た過去問

• 0≦x≦1の範囲で単調に増加する連続関数f(x)がf(0)<0≦f(1)を満たすときに、区間内でf(x)=0であるxの値を近似的に求めるアルゴリズムにおいて、(…

  正解：10

  要点：二分法は1回で区間が半分、精度εには約log2(1/ε)回

  これは二分法（区間二分法）で、1回処理するごとに解の存在する区間が半分になります。初期区間の幅は1で、(2)をk回実行した時点での x1−x は 2 の −k 乗になります。終了条件 2 の −k 乗 < 0.001 を満たす最小の k は、2 の −10 乗 ≒ 0.000977 より k=10 です。よって(2)は10回実行されます。

  出典：平成28年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問2（IPA）

• 非線形方程式f(x)=0の近似解法であり、次の手順によって解を求めるものはどれか。ここで、y=f(x)には接線が存在するものとし、(3)でx0と新たなx0の差の…

  正解：ニュートン法

  要点：接線とx軸の交点を繰り返し取る根の求解法がニュートン法

  接線を引いてそのx軸との交点を次の近似値にする、という反復を繰り返す非線形方程式の解法はニュートン法（ニュートン・ラフソン法）である。漸化式は x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) で表され、まさに接線とx軸の交点を求める式になっている。収束が速い（2次収束）一方、初期値が解から遠いと発散することがある。

  出典：令和3年度 秋期 応用情報技術者試験 午前 問1（IPA）

• 0≦x≦1の範囲で単調に増加する連続関数f(x)がf(0)<0≦f(1)を満たすときに，区間内でf(x)=0であるxの値を近似的に求めるアルゴリズムにおいて，(…

  正解：10

  要点：二分法の反復回数は区間幅の対数に比例し、10回で約1/1000

  これは区間を半分に狭めていく二分法で、区間幅は最初1、(2)を実行するたびに残り幅が半分になる。k回目の(2)の直後の判定量は1/2^kなので、終了条件0.001未満を満たすのは1/2^k<0.001、すなわち2^k>1000となる最小のkである。2^9=512、2^10=1024なのでk=10回。

  出典：令和7年度 春期 応用情報技術者試験 午前 問2（IPA）