極限（関数の極限）とは？きょくげん

背景

処理時間や誤差の振る舞いを比べるとき、知りたいのは特定の1点の値ではなく、入力を大きくしていったときにどちらが先に破綻するかという傾向である。極限は、この「近づけていった先」を数として扱えるようにした道具にあたる。アルゴリズムの計算量（データが増えたときに処理時間がどう伸びるか）を表すオーダ記法も、係数や低次の項を無視して次数の大小だけで優劣を決めており、見方は同じである。確実に解く手順は、分母と分子を最高次の項で割り、残った各項を0へ飛ばすこと。

具体例

f(x)＝3x＋2、g(x)＝x²＋5x について、x→∞ のときの f(x)/g(x) は、分子が1次で分母が2次なので0になる。実際に分母分子をx²で割ると、分子は3/x＋2/x²→0、分母は1＋5/x→1 となり、0÷1＝0と確かめられる。

試験での引っ掛け

式に残っている係数がそのまま答えになると思い込み、係数の比を選んでしまう誤りが定番である。比が答えになるのは分子と分母の次数が等しいときに限られる。また、x→∞ で分子と分母の極限を別々に先に取ると、どちらも限りなく大きくなる ∞/∞ の形になり、それだけでは値が決まらない（x をある有限の値に近づける問題では 0/0 の形になることがある）。最高次の項で割るなど、式の整理を先に済ませたい。

関連用語

• 微分

出た過去問

• 出典：令和元年度 秋期 基本情報技術者試験 午前 問4（IPA）

  a及びbを定数とする関数f(t)＝a/(t＋1)及びg(t)＝b/(t^2－t)に対して、lim[t→∞] g(t)/f(t) はどれか。ここで、a≠0、b≠0…

  正解：0

  要点：有理式の極限は分子と分母の次数の大小で決まる

  g(t)/f(t) を整理すると b(t+1) / { a(t^2 - t) } となる。分子は t の1次式、分母は t の2次式なので、分母のほうが速く増大し、t を無限大にすると比は 0 に収束する。実際に分母分子を t^2 で割ると、分子は b/t + b/t^2 → 0、分母は a - a/t → a となり、極限は 0/a = 0 である。

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